映射与函数的概念、定义 1

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愤鸟 2019 年 07 月 05 日

0. 集合 #(补充)

差集 # :AB 表示在 A 中但不在 B 中的元素。

直积 # :A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}.

直积的特例:R×R,记作 R^2,表示平面上全体点点集合。

运算律

分配律: # A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ; A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
对偶律: # (Ac∪Bc)=Ac∩Bc ; (Ac∩Bc)=Ac∪Bc.

邻域

U(a,δ)={x|a-δ<x<a+δ}.
a 称为邻域中心,δ称为邻域半径。

去心邻域: #不含邻域中心 a 的邻域。

1. 映射

映射

设 X、Y 是两个 非空集合 ,如果存在一个法则 f,使得对 X 中每个元素 x,按法则 f,在 Y 中有 唯一确定 的元素 y 与之对应,那么称 f 为从 X 到 Y 的映射。
映射又称为算子。

像 : x 在映射 f 下对应的 y ,记作 f(x)。
原像 : y 在映射 f 下对应的 x
像与原像相互对应。

定义域 : 包含 y 的原像 x 的集合 X
值域 : X 中所有元素的像所组成的集合 Y1
值域未必等于集合 Y,值域为 Y 的子集。

其他注意:

  • 映射三要素:集合 X(提供定义域)、集合 Y(提供值域)、对应法则 f(使原像与像对应)
  • 原像对应的像唯一,像对应的原像未必唯一、

满射 : 若映射 f 的值域为 Y,即 Y 中任一元素 y 都是 X 中元素的像,则称 f 为 X 到 Y 上的映射 或 满射。
单射 : 映射中 X 中任意两个不同元素,它们的像不等,则称 f 为 X 到 Y 的单射。
一一映射 / 双射 : 既是满射又是单射的映射。

映射在不同数学分支中的惯用名称:

  • 泛函:从 非空集 X 数集 Y 的映射。
  • 函数:从 实数集(或其子集)X 实数集 Y 的映射。

逆映射

对 X 到 Y 的 单射 f ,对 值域中的每个 y ,有 g(y)=x,此 x 满足 f(x)=y,则 g 称为 f 的逆映射
由此得出,只有单射才存在逆映射。

复合映射

对于映射 X 到 Y1 的映射 g,和 Y2 到 Z 的映射 f,且 Y1 为 Y2 的子集,可得出 X 到 Z 的映射,这个映射称为 映射 g 和 f 构成的复合映射
映射 g 和 f 构成复合映射的要点:

  • g 的值域必须被 f 的定义域包含 ,否则无意义
  • 映射 g 和 f 的复合有顺序 ,调换顺序则可能无意义,或意义不同

函数

概念

设数集 D∈R, 则称映射 f:D->R 为定义在 D 上的一元函数。记为 y =f(x),x∈D.
x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域,f(D)z 称为值域。

(可能具有的)特性

有界性

在函数的定义域 D 中的数集 X⊂D 内讨论
上界:若存在 K₁⊂D,使得 f(x)≦K₁恒成立,则称 f(x) 在 X 内有上界 。K₁为函数 f(x) 在 X 内的 一个上界。
下界:若存在 K₂⊂D,使得 f(x)≦K₂恒成立,则称 f(x) 在 X 内有上界 。K₂为函数 f(x) 在 X 内的 一个上界。
有界 / 无界:若存在 M⊂X,使得∣f(x)∣≦M 恒成立,则称 f(x)在 X 上有界,否则称 f(x)在 X 上无界。
注意:M 不唯一。

单调性

单调增加和单调减少的函数称为单调函数。

奇偶性

注意 定义域关于原点对称。

周期性

周期通常指最小正周期。
并非每个周期函数都有最小正周期。

反函数

反函数是函数的逆映射。
反函数的对应法则由函数的对应法则决定。
若一个函数是单调函数,则它的反函数也是单调函数,且单调性相同(?)。

复合函数

与复合映射类似。
(f○g)(x) = f[g(x)].

函数的运算

前提:函数 f(x),g(x)的定义域为 Df,Dg, 且 D =Df∩Dg≠0.

和 / 差 f±g: # (f±g)(x) = f(x)±g(x),x∈D;
积 f·g: # (f·g)(x) = f(x)·g(x),x∈D;
商 f/g: # (f/g)(x) = f(x)/g(x),x∈D{x|g(x)=0,x∈D}; //x∈D{x|g(x)=0,x∈D}表示差集

另可证明,一个定义域为 (-l,l) 的函数 f(x), 必存在 (-l,l) 上的偶函数 g(x), 奇函数 h(x), 使得

f(x)=h(x)+g(x) # .

初等函数

基本初等函数
常数函数: #f(x)=c.
幂函数: #f(x)=x^u(u)为常数。
指数函数: #f(x)=a^x(a>0,a≠1).
对数函数: #f(x)=loga(X)(a>0,a≠1).
三角函数 #(略)
初等函数: #由 常数 基本初等函数 经过 有限次 四则运算和复合步骤构成,并可用 一个式子 表示的函数。

若不符合,则为非初等函数。

双曲正弦: #y=f(x)=(e^x-e^(-x))/2=sh x, 为奇函数。
双曲正弦: #y=f(x)=(e^x+e^(-x))/2=ch x, 为偶函数。
双曲正切: #y=sh x/ch x=(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x))=th x, 为奇函数。
非初等函数
                     {1 (x>0)
符号函数: #y=sgn x={0 (x=0)
                     {-1 (x<0)
取整函数: #y=[x].
绝对值函数: #y=|x|.

封面图作者 蠢嵐嵐嵐
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